算数・数学はとにかく図を書く!!

ある生徒さんの引き算指導

19-10の計算ができない生徒さんを指導しました。一桁の計算はできているけど、二桁の計算になるとうまくいかないようです。

できなり理由は簡単。計算方法を丸暗記しているから。最初は、記憶を頼りながら思いついた数字を書いているだけのようでした。

とりあえず✕をつけて様子見。

何度か答えを書き直したけれど、正解にはたどり着けません。そこで、今度は紙を渡して再挑戦させました。

今度は筆算で計算しましたが、やはり答えが合いません。筆算のやり方も丸暗記しようとしても、引き算そのものが理解できていないので無理があります。

ここでヒントを出します。「19から10を引くってどういうこと?絵にかいてみて」

すると、今度は星を19個書いて、そのうちの10個を丸で囲んでいました。今度は引き算のしくみを理解できたようです。

類題が10題ほどありましたが、全て正解でした。

図を書くことで脳のパワーを引き出せる

人間の脳はそれほど便利にできていません。ワーキングメモリの容量が小さく、簡単な文章題でもすぐに一杯になってしまいます。ワーキングメモリが一杯の状態では、脳はほとんど力を発揮することができません。

図を書くことで情報を整理し、ワーキングメモリへの負担を減らし、脳のパワーを100%使えるようになります。

図を書くことにより、問題文をしっかり読む癖がつきます。問題文から必要な情報を取り出せないと図はかけません。

図を書けるようにするには訓練が必要

難しい問題を解く時にいきなり図を書こうと思っても、普段図をかく訓練をやっていないとテスト本番では書けません。

例えば、一次関数のグラフは、トレーニングをしていないと1分以上かかってしまいますが、普段から練習していれば5~10秒くらいで、しかもより正確に書けるようになります。

グラフを書くのに1分以上かかってしまうと心理的な負担が大きく、無意識のうちにグラフをかくのを避けてしまいます。関数の問題はグラフさえかければ簡単に解ける問題も多いです。

難しい問題を解く場合はさらにグラフをかくことが重要になります。グラフを書かないと、ワーキングメモリの負荷が大きくなり、脳のパワーを引き出せなくなります。

グラフを速く正確にかけるようになるには数をこなすしかありません。いきなり難易度の高い問題で練習するのではなく、比例関数や一次関数の簡単なグラフを大量にかくことから始めます。

当塾では、問題集に出てきた関数はすべてグラフを書いてもらっています。慣れれば数秒で書けるようになるため、時間的なロスはありません。逆に、問題を解くスピードが上がるため学習時間は短縮されます。

小学校・中学校では図をかく練習をしない

とにかくたくさん図を書くことが、算数・数学を解く上で、思考力を養う上で大切になります。しかしながら、小学校や中学校では図を書くトレーニングはほとんどやりません。

中学生用の塾用のテキストを見ても、グラフや図が問題文の横に書いてあるケースがほとんどです。

小学校の算数では、教えられた通りの方法、考え方で解くことが優先されてしまうため、試行錯誤しながら図を書く機会を与えてくれません。

算数・数学が楽しく感じるのは試行錯誤をして答えを見つけるとき

今の算数・数学教育はどこか歪んでいます。学校の先生に教えられた通りの方法で答えを出すトレーニングばかりやっています。自分で解き方を考え出す練習はほとんど行われていません。

「考え方が大事」とはよく言われていますが「考え方の押しつけ」になっているケースも多くあります。先生の言われた通りの考え方で解いたとしても、それは子供たち自身の力で解いたことにはなりません。

子供たち自身が試行錯誤しながら、自分の力で、自分の考えで答えにたどり着いたとき、そこでようやく「勉強の楽しさ」を実感できるようになります。

図を書くことが試行錯誤の練習になる

「よく考えてみて」「いろいろ試してみて」と指導するだけではうまくいきません。どうやって考えたらいいのかわからないからです。試行錯誤の練習としては、図を書かせるのが一番の近道です。学年や学力は関係ありません。

当塾では、中学生・高校生にも中学受験用のテキストを使って図を書く練習をやってもらっています。現在の数学力に応じて、小学3年生から小学6年生のテキストを使用しています。

当塾はオープンして1年ほどしか経っていませんが、既にこの方法でかなりの成果が出ています。高校で文系選択をしてしまった生徒さんが、算数・数学をやり直して自信を取り戻しています。

【発音】LとRの違いは舌の形?

LとRでは、舌の形が違うと認識している人が多いと思いますが、本質はそこではありません。重要なのは喉です。

Lは喉の上の方で発音

意識的に舌を歯に押し付けようとすると、隙間が埋まってしまい、息が抜けなくて音が出なくなります。

喉の上の方で発音しようとすると、舌が自然と前に出てくるので、 舌の力を抜いて舌の先が歯の根元に軽く触れるようにして音を出します。

Rは喉の奥の方で発音

Rの発音も、無理に舌を丸めようとすると不自然な音になります。さらには、舌の形ばかりに意識が行ってしまいまともに発音できません。

喉の奥の方で発音しようとすると、舌が奥の方に引っ込んで自然な発音ができるようになります。

LとRの聞き分けは喉の違いに意識を持っていく

LとRの音の違いを舌の形で説明しようとするとかなり無理があります。

しかし、「Lは喉の上の方、Rは喉の奥の方」と覚えておけば簡単に聞き分けができます。

Lは喉の上の方から声を出すため、「乾いた音」に、Rは喉の奥の方から音を出すので「湿った深い音」なります。

æの発音も喉に注目

[æ]の発音は、「エ」の口をしながら「ア」の音を出すと習うことが多いと思います。発音記号を覚えるだけならこれでいいですが、この覚え方で発音しようとすると、口に力が入って変な音になります。

[æ]を発音する時は、喉の一番奥から「ア」の音を出すようにします。こうすることで、 [æ] の湿った音を簡単に出せるようになります。

cat、apple、angryなど発音してみてください。

静岡から永田式英語の研修に来ました

個人で英語塾を開いている先生から、永田式英語の指導法について教えてほしいという依頼がありました。遠方からであまり時間がとれませんでしたが、英単語の覚え方を中心にデモンストレーションさせていただきました。

英単語の覚え方は、理屈がわかっているとそれほど難しくないのですが、手順を覚えようとするとなかなか大変で、手順が少し違うだけで効率がかなり悪くなります。

今回手伝ってもらった中学2年生の生徒さんは、英語の成績はかなり悪いですが、単語の覚え方の習得が早く、10日くらいで中学3年分の英単語が覚えられそうです。

単語の習得があまりにも早いので、直読直解法の練習もやってもらいましたが、こちらは苦戦しました。学校での英語の成績がクラス最下位付近の生徒さんなので、さすがに1時間では無理でした。教科書を使ってもう少し時間をかけて練習していきます。

竈&羽釜ごはんの炊き方

学童キャンプ用にごはんの炊き方をまとめました。羽釜3個で15kgのお米(100合=10升)を炊くことを想定しています。(1釜あたり5kg、33.3合。)

33.3合のお米を炊こうとすると、32cmの羽釜が必要にななります。釜の内側の直径が31~32cm以上あればOKです。

お米と水の準備

まずはお米と水の準備。キャンプ場で大量のお米を洗うのは避けたいので無洗米を使います。

無洗米1合(150g)に対し、水200mlとして計算します。(炊飯器は米1合に対して水180mlが標準です。)

蓋が密閉していないと水が蒸発して減るので、蓋の状態をよく確認してから水の量を決めます。 蓋の隙間が大きい場合は水を多めに入れます。

水が多いと軟らかいごはんになりますが、芯があるよりマシです。

例年は米5kgに対して水7Lで炊いています。

無洗米5kg = 33.33合 ⇒ 200ml×33.33 +300ml ≒ 7L

火おこし~炊飯開始

火を起こしてから弱火で待機します。準備ができたら、お米の入った釜をセットし、薪を入れます。薪を入れすぎると後で大変なので、入れすぎないようにします。

ゆっくりと火力を上げていけば、事前に吸水させておく必要はありません。薪に火が燃え移るまでの間で吸水します。

火を起こすのに慣れている人ならば、羽釜をセットしてから火つけると丁度いい火力、時間になります。

沸騰~蒸らし

火力が上がってしばらく経つと沸騰開始します。沸騰が始まったかどうかは、棒で蓋を押さえて振動を確認します。羽釜が小さいと吹きこぼれてきますが、羽釜のサイズが大きいとあまり吹きこぼれてきません。

沸騰が始まったら火力を下げて弱火にします。薪の投入量が適切なら、最初に入れた薪が燃え尽きて自動的に火力が下がります。

ここで火力が強すぎると芯が残ったり、ごはんが焦げます。火が強すぎる場合は薪を外に出して火力を調整します。

5~7分程度で沸騰が終わるので、沸騰が終わったら火を止めます。と言っても火は消せないので、薪をかまどから出します。

蓋を閉めたまま10~15分蒸らしたらできあがり。蒸らし時間が足りないと芯が残ることがありますが、釜が大きいので盛り付けている間に芯は消えます。 釜のサイズが小さい場合は蒸らし時間を多めにとったほうが無難で す。

通常、しゃもじでごはんの上下をひっくり返し水分を飛ばしますが、釜が大きすぎて無理なので省略します。

慣れるまでは蓋を開けて中の状態を確認

基本的には炊飯中に蓋を開けてはいけませんが、沸騰しているかどうかわからなかったら蓋を開けて確認してください。 失敗するよりはマシです。

標準で40分、早炊きで30分くらい、緊急時は25分で炊きあがります。

自宅でも練習できる

普通の鍋を使ってごはんを炊く練習ができます。透明な蓋の鍋を使えば中の様子を確認しながら炊けます。

大釜を使っての炊飯は失敗すると大変なので、事前に練習しておくことをおすすめします。

URC2019ロボット競技会に出場しました

今年もURCロボット競技会に出場しました。去年に続き予選大会レギュラー部門4位。運が良ければ決勝大会に出られるかと思ったのですが、そんなに甘くはありませんでした。

輪ゴムで的を倒すという簡単な競技でしたが、優勝チーム、準優勝チームは輪ゴム1本で的を2個倒すという離れ業を披露し、レベルの高さを見せつけました。

うちのチームも輪ゴム1本で2個倒すことを検討していましたが、命中率が下がることを懸念し断念。実際、優勝、準優勝したチームも練習ではうまくいっておらず、成功したのは本番のみでした。もしこの2チームが本番で失敗していたら、うちのチームが全国大会に出場していた可能性があります。

この手の競技は、あらゆる可能性を考え、諦めずに最後まで取り組めるかどうかで勝負が決まります。素晴らしいアイデアが浮かんだとしても、そこで満足したら負るし、実現するのが無理だと思って考えるのを止めても負けます。

輪ゴム5本で5個の的を正確に、素早く倒せるようなロボットを作ったまでは良かったのですが、そこで満足してしまったのが敗因です。

やる気のなかった昨年の大会からはかなり成長しましたが、来年はもっと粘り強く取り組んでいけるようになったらと思います。

効率よく確実に覚えられる英単語の覚え方

エビングハウスの忘却曲線のまとめ

前回、エビングハウスの忘却曲線の正しい解釈の仕方について書きました。

  • エビングハウスの忘却曲線は覚えた量じゃなくて「節約率」を表している。
  • 節約率=覚えた量ではない。
  • 翌日、翌々日と連続して学習したほうが効率がよい。
  • 節約率100%になってようやく「覚えた」と言える。
  • 節約率が100%になる前の段階の記憶を「メモ帳」、節約率が100%になった後の記憶を「ノート」と呼んで区別する。
  • 節約率が100%になる(ノートに書き込まれる)と忘れる方が難しくなる。
  • 英単語を覚えるときは、必ず節約率100%になる(ノートに書き込まれる)ようにする。

頭の中にはメモ帳とノートがある!

節約率という言葉は少し難しいので、「メモ帳」「ノート」という言葉に置き換えて説明します。

メモ帳は「一日に必要な記憶を覚えておく場所」と覚えておきましょう。 記憶の整理は夢を見ている間(レム睡眠中)に行われていると言われており、この間にメモ帳の内容が整理(消去)されると考えられます。

もしメモ帳内の内容がクリアされないとすぐに一杯になって大変なことになります。私も睡眠障害でレム睡眠が阻害された経験がありますが、その時はメモ帳の内容がクリアされず、一日前の記憶と一週間前の記憶が混ざってしまったような感覚になりました。当然、新しく何かを覚えるだけの余裕もなくなります。

ノートの方は、一度書き込みをすると消す方が難しくなります。「嫌なこと」は忘れないし、一度覚えた言葉(日本語)の意味を忘れることは滅多に忘れません。脳内に記憶として神経回路が形成されると、物理的に破壊する以外に記憶を消す方法はなくなります。

英単語を覚えるときは、メモ帳を利用しつつも、ノートにしっかりと記録されるような方法で覚えましょう。

単語を覚えるのに必要なのは集中力ではなく繰り返しの回数

メモ帳に記録する条件は「集中力」

記憶に関する言葉の定義は曖昧になっているため、ここでは「メモ帳に覚える=暗記する」と定義します。

メモ帳に記録するための条件は「集中力」と考えられます。暗記力が高い人は、集中力も高い。

この「暗記力」には個人差があります。一度にたくさん英単語を覚えられる人もいれば、そうでない人もいます。

ノートに記録する条件はくりかえしの回数

一方、ノートの方は集中力や暗記力に依存しません。単純な回数で覚えられるかどうかが決まります。つまり、暗記力が高いからと言って必ずしも記憶力が高いということにはならないということを意味します。

とにかく脳内での繰り返しの回数を稼げばいいだけなので、覚えられる英単語の量はほぼ時間に比例します。暗記力の個人差はほとんど影響しません。

「繰り返しの回数を稼ぐ」方法は色々ありますが、次回詳しく説明します。

暗記が得意な人と暗記が苦手な人、どちらが有利?

暗記が得意な人は、ノートの書き込み条件に達する前に英単語を暗記してしまうため、記憶として定着する確率が低くなります。このため、「覚えても覚えても忘れてしまう」という感覚が無意識のうちに刷り込まれてしまいます。

このような状態になってしまうと、単語テストの前にしか英単語の勉強をしないという習慣が出来上がってしまい、覚えては忘れる、覚えては忘れるの繰り返しになってしまいます。それでも少しずつ単語力が増えていきますが、あまり効率のよい方法とは言えません。

暗記が得意な人も、苦手な人も、英単語を覚えようとしない!

一方の暗記が苦手な人は、英単語を覚えられないと思い込んでいます。覚えられないと思っているので、最初からやろうとしません。結局のところ、暗記が得意な人でも、そうでない人も単語を覚えるという作業はあまりやっていません。

実際、私が高校生の時、高3の夏まで英語の勉強を完全にサボっていたので、クラスで最下位レベルまで単語力は落ちていましたが、夏休み、たった1カ月図書室に籠って英単語の勉強をやっただけで、単語テストで学年1位の同級生(現役東大合格)と同じスコアを出せるまで単語力が上がっていました。

単語をしっかりと覚えている受験生は以外と少ないということです。

英単語学習は逆転のチャンス!

数学の場合、学力の高い生徒さんとそうでない生徒さんでは、同じ1時間の学習でも学習効率にはどうしても差が出てしまいます。

単語の場合、単語を覚える速度に個人差がほとんどないため、時間をかけたら時間をかけただけの成果が得られます。

成績があまりよくない人の場合は逆転のチャンスとなり、逆に成績のよい人はサボった分だけ確実に追いつかれてしまいます。

ノートに記録される英単語は1時間に10単語

暗記力には個人差があるため、メモ帳に記録できる単語は1時間に20~50個程度とばらつきがあり、平均で30個くらいが目安となります。

一方で、ノートの方は1時間に10個とほとんど個人差はありません。1時間に10個というとかなり少なく感じますが、例えば1日3時間、30日間続けたとすると、900語になります。

一度覚えた英単語は忘れることがほぼないため、30日集中して単語学習をすれば中学3年分、もしくは、センター試験に必要な英単語を覚えることができ、単語力が劇的にUPします。夏休みを利用すると効率よく覚えられます。

音声教材を活用して学習時間を稼ぐ!

1日3時間を英単語学習に充てるのは難しく感じるかもしれませんが、3時間集中して英単語を覚えなければいけないという訳ではありません。

集中力が必要なのはメモ帳に記録する場合であって、ノートに記憶する場合は必要ありません。ダラダラとCDを聞くだけでも学習時間にカウントされます。例えば、片道30分の電車通学の場合、往復で1時間を単語学習に使えばかなり学習時間を稼げます。

食事中に聞き流しをするとか、寝る前に30分、子守歌代わりに聞くなど工夫すれば時間を作れます。

見る、聞く、読む、書くをバランスよく!

英単語を覚えるというと、机に向かってカリカリやるというイメージがあるかもしれませんが、それでは飽きてしまい続きません。単語帳を見てチェックする、附属のCDを聞く、音読してみる、書いて覚えるなどバランスよく作業をします。

特に、発音を覚えるための「音読」、リスニングの練習にもなる「聞く」という作業をサボりがちです。

これら二つの作業は、サボればサボった分だけ、単語を覚えるのが苦しくなります。苦しいと感じてしまうと単語を覚えるペースが遅くなり、挫折する可能性も高くなります。

理論上最速?

脳内に神経回路を形成するのに繰り返しの回数が必要となりますが、これがほぼ時間に比例します。塾で多数の生徒さんにやってもらった経験から判断すると、単語を覚える速度は個人差がほとんどなく1時間に10個です。この数字が理論値と言ってよいと思います。

この数値通りの成果を出すためには、極力無駄を排除した覚え方が必要になります。次回、無駄のない効率的な覚え方についての注意点をまとめます。

続きはこちら↓

前回の記事はこちら↓

ベクトルは矢印?

ベクトルがイマイチ理解できないという高校生がいました。学校の授業では「ベクトルは矢印だ」と教えられたそうです。

そこで生徒さんに、どうして『(a,b)・(c,d) = ac+bd』になるか考えて(証明して)みてと指示。

数時間後「ベクトルって超簡単~」との返答が返ってきました。

ベクトルは矢印ではありません。空間においては「大きさと方向を持ったもの」と定義されます。

代数的には、「基底とそれに対する成分の組によって表わされる。」となりますが、ちょっと抽象的でわかりにくいため、自分で内積の証明をやったほうが理解が深まります。

わかりやすく言えば、座標計算に名前を与えて計算しやすくしたもの、もしくは視覚的に理解しやすくしたものがベクトルということです。

矢印は、スカラー量と区別するための表記であって本質ではありません。

公式を与えられた時、最初に自分で証明してみることが数学への理解を深めることになります。

今回の授業でも、ベクトルについて詳しく解説することはありませんでした。「内積の証明」をやるように指示しただけです。

当塾では講義型の授業はやりません。自分で考えて、自分自身の力で数学の世界を構築した方が何倍も効率よく、正確に理解することができます。

ただし、独自解釈で間違った方向へ行ってしまった場合は、今回のようにアドバイスをして修正させていただきます。

文章題に強くなる!小学生算数教室

受講生募集中

北本向学館では、「生徒さんの学力、進度に合わせ、無学年進級方式の「のびのびじゃんぷ」、中学受験用のテキスト「マイジュック」を使用しています。

算数や数学に躓いてしまう生徒さんは、今やっている単元ではなく、その前の単元の理解や習熟度が不十分なケースがほとんどです。当塾では、無学年進級式の教材を用いることで戻り学習を容易にしています。

基礎力が十分な生徒さんには、中学受験用のテキストに取り組んでもらっています。中学受験用のテキストは、学校の授業では見たこともない問題が多く出題されており、試行錯誤しながら思考力を養っていくのに適した教材となります。

難易度が高いテキストをノーヒントで解いてもらうことになるため、学年を遡って簡単な問題から無理なく思考力をつけていくようにカリキュラムを組みます。

当塾は算数・数学教育が得意な塾ですが、「自分の力で問題解決する力」を養うためには読解力も必要とします。塾生には、算数だけでなく国語のテキストにも取り組んでもらっています。北本向学館では、設問を解く前に文章をしっかり読むトレーニングを行っており、高校受験、大学受験等で高い成果がでています。

エビングハウスの忘却曲線は間違い?

エビングハウスの忘却曲線は節約率を示している

「エビングハウスの忘却曲線」という言葉はご存知でしょうか?勉強方法を紹介する時にグラフとともに使われることが多いので、聞いたことがある人も多いかと思います。しかしながら、正しく解釈されて表現されていることは稀で、適当に説明しているケースが多い。

エビングハウスの忘却曲線に使われている値は、覚えた量ではなく「節約率」を示しています。節約率とは、一度覚えて、「もう一度覚えるのにかかった時間(%)」を100から引いたものです。少しわかりにくいので下の図を参照してください。

例えば、ある事柄を覚えるのに100秒かかったとします。20分後にもう一度同じ事柄を覚えなおすと、42秒で覚えることができました。100秒‐42秒の58秒が「節約率」に相当します。

節約率=覚えていた量ではない

覚える時間が58秒短くなったということは、その短くなった時間の分を「覚えた」と解釈してもいいんじゃないか?ということで、「節約率=覚えていた量」と解釈されることがあります。

でもちょっと待ってください。よくよく考えると、「再び覚えなければいけない」ということは、この時点では「覚えて」いないんです。覚える時間が短くなっただけで「覚えた」ことになりません。覚えるのが楽になっただけです。

わかりやすく例を示すならば、初見の英単語を100個覚えたとして、翌日覚えている個数は「ゼロ」ということになり、「34個覚えていた」ということにはなりません。

我々の感覚とズレているように感じますが、現実的には「完全に初見の英単語を100個覚える」という状況がほぼありません。どこかで見たことがある英単語や、末尾が違うだけの派生語、カタカナ英語などが含まれています。なので、実際には100個覚えたら30個くらいは翌日覚えています。(暗記した後もさらに学習を続けると翌日に節約率100%になることもあり得ます。)

復習は翌日するのが最も効率がよい

忘却曲線を見ると、時間とともに節約率がどんどん下がってくるので、「復習する時はできるだけ時間を空けない方がよい」ということになります。当日復習するのは現実的ではないので、翌日に復習したほうが復習の効果が高いということになります。

よく言われている、「2~3日後に復習をしたほうが効率がいい」という根拠はどこにもありません。翌日、翌々日と続けて学習した方が効率がよくなります。

英単語を覚えるなら、節約率100%になるまで覚える

翌日に復習した時の忘却曲線は、例えば次のようになります(概念図で正確なものではありません)。毎日復習すると節約率はどんどん上がっていき、5日後には復習をしなくても節約率が100%になります。節約率100%ということは、「完全に覚えた」状態を意味しています。

4日後に学習をやめてしまうと、せっかく上がってきた節約率が時間とともにどんどん下がっていきます。再び覚えなおすのに時間がかかってしまい、かなりの時間ロスになります。単語帳1冊を終えるのに、2倍、3倍の時間がかかってしまうことも珍しくありません。受験生にとっては致命的なロスとなり、モチベーションを維持するのも困難になります。

ほとんどの受験生が節約率100%になる前に学習を止めているため、「覚えても覚えてもすぐに忘れる」という認識に陥ってしまいます。

永田式英語での解釈とエビングハウスの忘却曲線

永田式英語では、一時的に覚えただけの状態、すなわち、節約率100%に至る前の記憶を「メモ帳」、節約率が100%になった以降の状態の記憶を「ノート」と呼んで区別しています。

ノートに記録された記憶は簡単には忘れません。脳内に神経回路が形成され、手術でもしない限りこの回路を切断することはできないからです。つまり、「一度覚えたことは忘れる方が難しい」ということです。実際に、嫌なことは忘れたくても忘れられないし、一度覚えた日本語の言葉の意味を忘れてしまうという体験はほとんどないはずです。英単語も正しく覚えたら簡単には忘れません。

ただし、使わない記憶は上書きされて薄れていくので適度に使うようにしてください。といっても普通に受験勉強をしていれば基本的な英単語は何度も出てくるので、意識的に使う必要はありません。

「英単語は、覚えても覚えても忘れてしまう」と感じている人はかなりいると思いますが、実際には「忘れてしまう以前に覚えてすらいない」ということです。

永田式英語ではメモ帳とノートを区別して覚える

北本向学館では、「ノート」に記録されたかどうかを単語帳(主にキクタン)を使ってチェックし、実際の暗記作業は、単語のリストを作成して覚えてもらっています。メモ帳とノートを区別することで、英単語にかける学習時間を大幅に短縮することに成功しています。他にも英単語を覚えるノウハウがありますが、別の機会に説明させていただきます。

「効率のよい英単語の覚え方」は理論が少し難解で、実践するには細かい注意点が必要になります。お近くにお住まいの方は是非北本向学館までお越しください。英単語を覚えるノウハウのみの指導なら数回で完了します。

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